Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos homólogos iguales y los lados correspondientes son proporcionales, es decir que se cumplan dos condiciones:



- Â = Â',^B =^B' y ^C = ^C'

- AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'



En esta imagen se puede ver que la r (razón) = 2.
¿Cómo averiguamos la razón?
Dividiendo en este caso EF/ BC, o DF/AC , también ED/BA.



APLICACIONES:

1. Cálculo de la altura de un objeto








2. Escalas
También se pueden utilizar en escalas

La escala a la que está representando un objeto es la razón entre cualquier medida en la representación de ese objeto y su medida correspondiente en la realidad.



Ejercicios:
http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_2e.HTML

Resuelve los siguientes problemas:

 

1Calcula los triángulos semejantes a los dados.

 

a = 4 cm; b = 6 cm; c = 8 cm. Razón r = 0.5

 

a' =  cm

b' =  cm

c' =  cm

 

a = 9 cm; b = 21 cm; c = 15 cm. Razón r = 2.5

 

a' =  cm

b' =  cm

c' =  cm

 

 

Primer triángulo

Calculamos los lados del triángulo semejante al dado utilizando la razón de semejanza

 

Segundo triángulo

 

2.Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 m y 5 m.¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 26 cm?

 

b' =  cm

c' =  cm

 

 

Calculamos la hipotenusa del primer triángulo utilizando Pitágoras y luego calculamos los catetos del segundo a patir de la ralación de semejanza

3.Sabemos que los perímetros de dos triángulos isósceles semejantes valen 19.5 cm y 13 cm y que el lado desigual del primero mide 4.5 cm. Calcular los lados de ambos triángulos y la razón de semejanza.

 

a =  cm

b =  cm

a' =  cm

b' =  cm

c' =  cm

r =

 

Sabiendo que el área del primer triángulo vale 16 cm² calcular el área del segundo sin utilizar los lados del mismo

 cm²

 

En primer lugar calculamos los lados del triángulo del que conocemos su lado desigual. Como el triángulo es isósceles tiene dos lados iguales.
19.5 = 2 · a + 4.5
2 · a = 15
a = 7.5 cm
Como los triángulos son semejantes aplicamos la relación de semejanza

Al ser el triángulo isósceles a' y b' miden lo mismo
Para calcular el área utilizamos la razón de semejanza con las áreas (la cual está al cuadrado): 1.5² = 2.25.